摘要：為了改善具有大慣性的船舶航向保持效果，在簡捷魯棒控制的比例部分加上一個正數，通過對系統的穩態和動態性能的理論分析，該方法在不改變系統的穩態性能的基礎上改善了系統的動態性能。針對“育龍”輪進行了系統仿真，系統的調節時間由原來的700s下降為100s，結果驗證了本方法的有效性。
關鍵詞：船舶、艦船工程；閉環增益成形；航向保持；魯棒控制
船舶運動具有大慣性特點，時間常數為幾十秒甚至可達幾百秒，舵效響應緩慢。對于一艘時間常數為200s左右的船舶，一般的控制算法能使系統的調節時間在300～800s之間，如果要進一步縮短調節時間，控制算法需要進一步繁化，將對算法的推廣造成理解上的信息不對稱。
閉環增益成形算法利用H∞魯棒控制理論混合靈敏度算法的結果（即靈敏度函數S和補靈敏度函數T的形狀），用構造方法設計出魯棒控制器，所用參數都是具有工程意義的，是一種簡化的H∞魯棒控制算法。文獻[l]首先提出了SISO（Single input Single output）系統的閉環增益成形算法，文獻[2]系統地給出了整個算法，文獻[3]通過引進二階深嚴格真模型證明了閉環增益成形算法的特例即為PID（Proportional-integral-derivative）控制算法；文獻[4-6]通過引進鏡像映射的概念將閉環增益成形算法推廣應用于不穩定系統設計中；文獻[7]將閉環增益成形算法應用于MIMO（multiple-input and multiple-output）系統中，文獻[8]闡述閉環增益成形算]法為簡H∞魯棒控制算法；文獻[9]將閉環增益成形算法應用于SIMO（single input multiple output）系統中；文獻[10]將閉環增益成形算法與非線性控制的精確反饋線性化方法相結合給出一種SISO系統非線性魯棒控制算法；文獻[11]將閉環增益成形算法與非線性控制的Backstepping方法相結合給出另外一種SISO系統非線性魯棒控制算法；文獻[12]和文獻[13]給出閉環增益成形算法與不對稱理論相結合的結果；文獻[14]將閉環增益成形算法推廣到離散系統中去；文獻[15]說明閉環增益成形算法是一種基于信息對稱的簡捷控制算法。文獻[16]給出了神經網絡直接逆控制與魯棒控制相結合的方案；文獻[17]給出了神經網絡監督控制與魯棒控制相結合并應用船舶航向保持的研究。本文針對船舶運動的大慣性特點，在算法的比例部分加上一個正數，改善控制的動態性能，通過理論分析證明了其可行性。
1 閉環增益成型算法
H∞魯棒控制理論解決了頻域中MIMO系統魯棒控制器的設計問題，但為了獲得性能完善的魯棒控制器，需要高深的數學基礎指導整個設計過程，并進行大量的實驗以選擇權函數，采用特定的軟件包，由此求得高階次的控制器。相對于獲得的控制器具有魯棒性這一優點來說代價有時未免太大。筆者基于對H∞魯棒控制理論中混合靈敏度算法及回路成形算法的深入理解，以及大量的控制器設計實踐經驗，考慮到補靈敏度函數丁和靈敏度函數S的相關性（T=I-S），提出了閉環增益成形控制算法，后者也可以說是一種簡化的SIT混合靈敏度算法，該算法以物理理解取代繁瑣的數學演繹，工程意義明確、清晰，設計所得的控制器階次較低，具有控制性能和魯棒穩定性良好的特點。
閉環增益成形算法利用H∞控制的混合靈敏度控制算法的結果，用具有工程意義的4個參數直接構造出補靈敏度函數T，T和S具有相關性，從而間接地構造出了S，然后反推出控制器K。如果說，H∞控制的混合靈敏度控制算法是正向思維的產物，回路成形算法可以說是發散思維的產物，而閉環增益成形算法則是逆向思維的產物。其核心是直接用構造的系統閉環傳遞函數矩陣的表達式設計控制器，用于構造T的4個參數（最大奇異值、帶寬頻率、關門斜率及閉環頻譜峰值）都具有實際的工程意義。由于S和T的相關性間接確定了S的形狀，進而保證了系統的魯棒穩定性和魯棒性能，其特點是立論的物理概念清晰，求解過程異常簡單。
觀察圖1所示的典型的S&T奇異值曲線，為使系統魯棒穩定，要求系統閉環頻譜為低通的，且最大奇異值為1以保無靜差地跟蹤參考信號r；系統的帶寬頻率決定了系統的控制性能；而頻譜的關門斜率決定了系統對有效頻帶以外干擾的敏感程度，斜率越大，對干擾的影響越不敏感，系統的魯棒性能越強，但如關門斜率取得太大，設計出的控制器階數增高，不利于控制器的實現且控制效果并無明顯改善。一般地，關門斜率取-20dB/dec，-40dB/dec和-60dB/dec。
設閉環系統的帶寬頻率為1/T1（嚴格說應為交接頻率），下面以關門斜率（或稱高頻漸近線斜率）取、-20dB/dec時求取圖2所示標準反饋系統的閉環增益成形控制器。
將T的奇異值曲線近似表示為最大奇異值為1的一階慣性系統的頻譜曲線，則
(1)
從式（1）可以看出，G不含積分項，K含積分項，保證了整個系統可以消除靜差。按實際的閉環系統性能確定帶寬頻率1/T1后，閉環增益成形控制算法設計出的控制器只取決于被控對象G，該算法事先選定了靈敏度函數S和補靈敏度函數T的形狀，從而保證了系統的魯棒性能和魯棒穩定性。
2 改進的船舶簡捷魯棒控制算法
船舶航向保持是一個典型的SISO問題。取舵角S為被控對象輸入，艏向角ψ為被控對象輸出，可得到被控對象的Nomoto傳遞函數數學模型
Gψδ（s）= K0/（s（T0s+1））
將船舶的Nomoto模型代人式（1）得
(2)
從式（2）可以看出，基于閉環增益成形得出的航向控制器具有PD（Proportional-derivative）控制器形式。如果用二階或三階閉環增益成形算法設計船舶航向保持控制器，其結果也可以看做是一個PD控制器乘以一個一階慣性環節或二階振蕩環節。
在實際應用時，對于大型油輪等時間常數較大的船舶，發現其控制的調節時間較長。對于船舶航向保持控制系統來說，如果不進行零極點對消（對于穩定的系統，設計控制器時，零極點對消不影響其設計結果），系統的閉環傳遞函數為s（Tos＋1）/（T1Tos3＋（T1＋To）S2＋s），該傳遞函數可用Hutton提出的基于穩定性考慮的降階算法即利用Routh因子的近似方法降為一階l/（Tos＋l）（當To<T1時）[18]。根據一階慣性系統的特性，其調節時間為3To，故對于大慣性系統來說，其調節時間較長，而將式（2）PD部分中的P加上一個正數時，其動態性能大幅度改善，通過理論分析，對簡捷魯棒控制算法中的P加上一個正數，其穩態性能不會改變，而動態性能能夠提高。
2.1對于系統的影響
2.1.1對系統穩態的影響
設參考輸入為階躍信號，幅值為r，設控制器P部分加上的正數為ρ，對于式（2）的控制器，根據終值定理，圖2系統的穩態輸出為
y（∞）=
輸出穩態誤差為
r－y(∞)=r－r=0
故改進的簡捷魯棒控制對系統的穩態不產生影響。
2.1.2對系統的動態的影響
從系統的輸出ψ到設定航向ψr的傳遞函數為
(3)
現回顧一下Nomoto模型的推導過程，由3自由度船舶運動狀態空間型數學模型經拉普拉斯變換后得到傳遞函數型的數學模型為
（4）
這是一個3階系統，具有兩個非零極點和一個零點。野本對3階船舶模型式（4）做了一項出色的簡化工作，使之降為二階，論證的出發點在于，對于船舶這種大慣性的運載工具來說，其動態特性只在低頻段是重要的，故在式（4）中令s=jω→0，且利用兩個熟知的近似關系：當x→0時有1／（1＋x）≈1－x，(1－x）≈l／（l＋x），并忽略二階及三階小量，由此導出著名的Nomoto模型
(5)
式（5）中，增益Ko與3階模型相同，時間常數T0= T1＋T2－T3。
文獻[19]指出盡管式（5）從數學推導上并不是特別嚴密的，但對于時間常數較大的船舶來說，式（5）仍然是可用的，從Bode圖近似上，式（5）也是正確的。
對于式（3）同樣應用式（4）到式（5）的推導過程，得出
(6)
而未經改進的原系統傳遞函數為
(7)
式（6）與式（7）相比，系統的時間常數由Tl變為了Tl／（ρK0T1＋1），如果ρ選擇1~10之間的一個數，則系統的調節時間將大幅度減少（Tl一般取為大于3的正數以使l／Tl小于海浪的頻譜，K0T1一般介于0.4~2.0之間），調節時間由3T0降為3T0／（ρK0T1＋1）。
3 仿真結果分析
以大連海事大學實習船“育龍”號為例，其船舶參數為：兩柱間長126m，船寬20.8m，滿載吃水8.0m，方形系數0.681，航速15kn，舵葉面積18.8m2，排水量14278.1m3。由這些參數可得出船舶Nomoto模型的操縱性指數為K0=0.48s-l，T0=216.58s，α=9.16，β=10814.30，為響應α、β型非線性Nomoto模型參數。仿真時取ρ=1，航向保持控制器的有效工作帶寬頻率為1/3rad/s，則設計參數T1=3，這樣可以使閉環控制系統將海浪的頻譜抑制在控制器工作帶寬之外。在仿真時還考慮了舵機的特性，其數學模型采用單油路模擬控制變量的舵機系統[20]，其中舵機伺服系統的最大舵速設為士2.3(°)／s。
對于海浪干擾，仿真時采用一種簡單的模擬方法，即用白噪聲驅動一個典型的2階振蕩環節，在6級風作用下得到的海浪模型的傳遞函數為
h（s）=
假設在船舶設定航向為30°，風力為6級，風向為50°時的情況下做仿真實驗，得到的仿真曲線如圖3~圖4所示，圖4的調節時間由圖3的700s降為300s。圖5給出了p=4時的仿真結果，分析仿真曲線可知，適當調整ρ的值，系統的調節時間可由初始的700s降為100 s左右。設計控制器時用的是船舶運動線性Nomoto數學模型，而在仿真時用了響應型非線性Nomoto數學模型并加入了舵機特性，相當于數學模型產生了模型攝動，而控制效果仍能滿足要求，說明控制器具有一定的魯棒性。
4 結語
本文以提高大慣性船舶航向保持的動態性能為研究目的，采用在簡捷魯棒控制的比例部分加上一個正數的方法改進了原魯棒控制算法。通過理論分析和實際的仿真試驗驗證了所采用方法的有效性。對于二階或三階閉環增益成形算法及非線性閉環增益成形算法，在實踐中其比例部分加上一個正數也能改善系統的動態性能。
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作者：張顯庫，關巍 來源：中國航海
